x + y + 3 = 0 সরলরেখাটির -

i. উপরস্থ একটি বিন্দু (-2, -1)
ii. ঢাল, -1
iii. y অক্ষের ছেদক -3
নিচের কোনটি সঠিক?

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ হলো \(x + y + 3 = 0\)।

আমরা তিনটি বিবৃতি পরীক্ষা করব:

i. উপরস্থ একটি বিন্দু (-2, -1)

একটি বিন্দু সরলরেখার উপর অবস্থিত কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য, বিন্দুর স্থানাঙ্ক সরলরেখার সমীকরণে বসিয়ে দেখতে হবে। যদি সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, তবে বিন্দুটি সরলরেখার উপর অবস্থিত।

বিন্দু \( (-2, -1) \) এর জন্য, \(x = -2\) এবং \(y = -1\)।

সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(-2 + (-1) + 3\)

\(= -2 - 1 + 3\)

\(= -3 + 3\)

\(= 0\)

যেহেতু বামপক্ষ (LHS) এবং ডানপক্ষ (RHS) উভয়ই \(0\), তাই বিন্দু \( (-2, -1) \) সরলরেখার উপর অবস্থিত।

সুতরাং, বিবৃতি i সঠিক।

ii. ঢাল, -1

একটি সরলরেখার সমীকরণ \(Ax + By + C = 0\) আকারের হলে, তার ঢাল (slope) \(m = -A/B\) হয়।

প্রদত্ত সমীকরণ \(x + y + 3 = 0\) এর সাথে \(Ax + By + C = 0\) তুলনা করলে আমরা পাই:

\(A = 1\)

\(B = 1\)

\(C = 3\)

সুতরাং, ঢাল \(m = -1/1 = -1\)।

বিকল্পভাবে, সমীকরণটিকে \(y = mx + c\) আকারে প্রকাশ করে ঢাল নির্ণয় করা যায়।

\(x + y + 3 = 0\)

\(y = -x - 3\)

এখানে, ঢাল \(m = -1\)।

সুতরাং, বিবৃতি ii সঠিক।

iii. y অক্ষের ছেদক -3

একটি সরলরেখার সমীকরণ \(y = mx + c\) আকারে থাকলে, \(c\) হলো y অক্ষের ছেদক (y-intercept)।

আমরা দেখেছি যে, প্রদত্ত সমীকরণ \(x + y + 3 = 0\) কে \(y = mx + c\) আকারে লিখলে হয় \(y = -x - 3\)।

এখানে, \(c = -3\)।

সুতরাং, y অক্ষের ছেদক হলো \(-3\)।

সুতরাং, বিবৃতি iii সঠিক।

যেহেতু i, ii এবং iii তিনটি বিবৃতিই সঠিক, তাই সঠিক উত্তরটি হলো 'i, ii ও iii' সমন্বিত বিকল্প।